Zahlensysteme: Binär nach Dezimal umrechnen (und umgekehrt)

Mit dem Binärsystem (oder auch Dualsystem genannt) ist es möglich, dezimale Zahlen mit nur zwei Ziffern, nämlich der 0 und der 1 darzustellen. In der IT-Technik stößt man oft auf das binäre Zahlensystem, weil Computersysteme in ihrem Inneren nur mit einer 0 und einer 1 arbeiten können.

Hier werde ich nun ganz einfach erklären, wie man Binärzahlen ins Dezimalsystem umrechnet und umgekehrt. Das Dezimalsystem ist das Zahlensystem, das wir bereits kennen und verinnerlicht haben: Es gibt die Ziffern 1 bis 9, und um eine "Zehn" darzustellen fängt man wieder bei 1 an und hängt eine 0 hintendran.

Wie sieht eine Binärzahl aus?

Bevor wir zur Formel kommen, mit der man Binärzahlen ins Dezimalsystem umrechnen kann, wollen wir noch kurz klären, wie eine Binärzahl (oder Dualzahl) überhaupt aussieht. Als Beispiel verwende ich jetzt mal die dezimalen Zahlen von 0 bis 9 und stelle sie in der Tabelle jeweils in binär dar:

Dezimal	Binär	Dezimal	Binär
0	0	5	101
1	1	6	110
2	10	7	111
3	11	8	1000
4	100	9	1001

Wie wir sehen, sind die dezimalen Ziffern 0 und 1 gleich dem binären Wert. Um aber eine 2 darzustellen, reichen die Zahlen im Binärsystem nicht mehr aus und man muss die dezimale 2 mit einer 0 und einer 1 darstellen (was binär eine 10 wäre). Am Anfang mag das Ganze vielleicht noch ein bisschen unverständlich aussehen, doch wenn man erst einmal die Logik dahinter verstanden hat, dann ist es eigentlich ganz einfach. Kümmern wir uns jetzt um die Formel, mit der wir auch größere Zahlen umrechnen können.

Formel zum Umrechnen von Binärzahlen ins Dezimalsystem

Als Beispiel werde ich jetzt die binäre Zahl 1110 nehmen, die wir jetzt in ihren dezimalen Wert umrechnen. Dazu schauen wir uns als erstes mal die Formel dazu an. Die Erklärung erfolgt danach.

(x * 2^0) + (x * 2^1) + (x * 2^2) + (x * 2^3)

Die Erklärung dazu ist ganz einfach: Wir sehen dort eine Formel mit insgesamt vier x drin. Diese vier x sollen jeweils eine binäre Ziffer darstellen. Aber nicht in ihrer üblichen Reihenfolge, sondern umgekehrt. Im nächsten Beispiel schreiben wir also unsere binäre 1110 rückwärts an die entsprechenden Stellen.

(0 * 2^0) + (1 * 2^1) + (1 * 2^2) + (1 * 2^3)

Wir haben nun unsere Binärzahl an den entsprechenden Stellen platziert und können eigentlich direkt weitermachen. Vorher noch einmal den Rechenweg wörtlich gesprochen: 0 mal 2 hoch 0 PLUS 1 mal 2 hoch 1 PLUS 1 mal 2 hoch 2 PLUS 1 mal 2 hoch 3. Berechnen wir nun das Ergebnis!

0 * 2^0 = 0  
1 * 2^1 = 2  
1 * 2^2 = 4  
1 * 2^3 = 8

Ergebnis (dezimal):
0 + 2 + 4 + 8 = 14

Wie wir sehen, habe ich zuerst die einzelnen Bereiche ausgerechnet und zum Schluss die Zahlen addiert. Als Endergebnis haben wir nun eine dezimale 14. Diese Formel funktioniert genau so auch mit anderen Binärzahlen. Wenn eine Binärzahl 5 Stellen haben sollte, dann berechnet ihr das Ergebnis genau so wie im Beispiel gezeigt. Das Einzige, was ihr tun müsst, ist die Zahl, die nach 2^ kommt weiterzuführen.

Das heißt, bei einer 5-stelligen Binärzahl wäre der letzte "Block", den ihr rechnen müsst, eine 2^4 (da ja mit 2^0 begonnen wird). Bei 6 Stellen eine 2^5. Und das je nachdem, wie lang die binäre Zahl ist. Beachtet aber, dass ihr die Binärzahl zum Umrechnen rückwärts aufschreiben müsst!

Formel zum Umrechnen von Dezimalzahlen ins Binärsystem

Im vorherigen Abschnitt haben wir uns ja schon angeguckt, wie man Binärzahlen ins dezimale Zahlensystem umrechnen kann. Wenn wir aber nun eine dezimale Zahl ins Binärsystem umrechnen wollen, müssen wir uns auch nicht großartig anstrengen, denn die umgekehrte Richtung ist genauso einfach wie Binär zu Dezimal.

Ich suche mir jetzt also wieder irgendeine Zahl aus dem Dezimalsystem aus, die wir mit einer Formel ins Binärsystem umrechnen werden. Dieses Mal entscheide ich mich für die Dezimalzahl 180.

Der Rechenweg funktioniert so:

180 : 2 = 90 Rest 0
 90 : 2 = 45 Rest 0
 45 : 2 = 22 Rest 1
 22 : 2 = 11 Rest 0
 11 : 2 =  5 Rest 1
  5 : 2 =  2 Rest 1
  2 : 2 =  1 Rest 0
  1 : 2 =  0 Rest 1

Dieses Muster schreibt man solange untereinander bis man nur noch 1 : 2 rechnen muss. Nachfolgend geht man hin und schreibt die Restwerte der Rechnungen von unten nach oben nebeneinander auf.

Die Lösung wäre also:

10110100 Binär = 180 Dezimal

Fazit

Wie man sieht, ist das Ganze ganz einfach. Zum Schluss kann ich da auch nur noch ein lustiges Zitat erwähnen:

Es gibt 10 Arten von Menschen auf der Welt:
Diejenigen, die das binäre Zahlensystem verstehen, und die, die es nicht tun.